% % Inspired by Dan Spielman's template

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{algpseudocode}
\usepackage{algorithm}



\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{blindtext}


\oddsidemargin=0.15in
\evensidemargin=0.15in
\topmargin=-.5in
\textheight=9in
\textwidth=6.25in

\usepackage[colorlinks=true,breaklinks,pdfpagemode=none,linkcolor=blue,citecolor=blue]{hyperref}
\usepackage{enumerate}

%\usepackage{enumitem}
%\setlist{itemsep=0mm}



%\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks}
%\usepackage{epsfig}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,bm}
%\usepackage{pst-grad} % For gradients
%\usepackage{pst-plot} % For axes


%% Enviroment definitions (add your own here)

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{observation}[theorem]{Observation}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fact}

\newenvironment{proof}{\noindent{\bf Proof}\hspace*{1em}}{\qed\bigskip}

%% New commands (add your own here)

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\hv}{\hat{v}}
\newcommand{\hL}{\hat{L}}
\newcommand{\hlambda}{\hat{\lambda}}
\newcommand{\homega}{\hat{\omega}}
\newcommand{\hp}{\hat{p}}
\newcommand{\hW}{\hat{W}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\qed}{\rule{7pt}{7pt}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}

\begin{document}

   \noindent
   \begin{center}

   \hrulefill
   
   \vspace{5pt}
   
   \makebox[\textwidth]{ {\bf 6.S978 Graphs, Linear Algebra, and Optimization -- Fall 2015} \hfill  September 10, 2015}
   \vspace{0pt}
   
   {\Large \hfill  Lecture 1\hfill}
   \vspace{5pt}
   
   \makebox[\textwidth]{ {\it Lecturer: Aleksander M\k{a}dry \hfill Scribe: (Scribe name here)} }
   
   \vspace{-3pt}
   \hrulefill
   \end{center}


\section{A Section}
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Praesent volutpat massa semper neque malesuada, non dictum nibh egestas. Mauris odio quam, imperdiet ut nunc eu, tincidunt tempus risus. Donec congue, felis vel consectetur iaculis, diam leo ultricies lorem, et bibendum arcu risus a lacus. Nulla eget placerat dui. Proin dignissim euismod molestie. Curabitur tincidunt, felis eu convallis varius, justo justo commodo nibh, ut hendrerit enim lectus in magna. Curabitur lobortis mi odio. 

\url{http://courses.csail.mit.edu/6.S978}

\begin{enumerate}[(i)]
\item First
\item Second
\item Third
\end{enumerate}

Here is a formulation of the maximum flow problem
\begin{align*}
\min \,&\|f\|_\infty \\
\text{s.t. } & f \in \mathcal{F}_{s, t}.
\end{align*}

Donec luctus lacus ac placerat semper. Pellentesque id mattis nisl, sed mollis dolor. Proin eleifend a sapien vitae aliquam. Aliquam et consectetur nulla, id tristique tellus. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Suspendisse commodo urna id turpis porttitor aliquet. Vivamus at nunc facilisis, auctor ligula sit amet, dictum mi. In auctor quis magna a porttitor. Proin vitae tortor facilisis turpis tempus cursus vel vel lacus. Curabitur bibendum faucibus est sed euismod. Pellentesque tristique nunc dolor, ut aliquam risus pharetra sodales. Morbi vulputate luctus risus, mattis congue turpis posuere a. Nam venenatis, neque nec dictum rhoncus, lorem dui euismod tortor, in fermentum nunc nibh sed erat. Mauris vestibulum leo quis diam vestibulum interdum.

Consider the Algorithm \ref{alg:name} below.
\begin{algorithm}
\begin{algorithmic}
\State $x\gets 1$
\For {$s = 1\dots t$}
\State $x_{s+1} \gets x_s+1$
\EndFor
\State \Return $x$
\end{algorithmic}
\caption{An algorithm.}
\label{alg:name}
\end{algorithm}

\subsection{A Subsection}

Donec non leo dapibus, tempor diam vestibulum, consectetur erat. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Vestibulum nec fringilla diam, vitae porttitor nisl. Integer ac sollicitudin mauris. Integer facilisis, augue id interdum aliquet, libero ex condimentum neque, at vulputate sapien mi sit amet nibh. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Etiam condimentum pretium lacus pharetra scelerisque. 

\begin{enumerate}[(a)]
\item First
\item Second
\item Third
\end{enumerate}

Donec quis tristique elit. Duis tortor massa, interdum feugiat risus et, tristique fringilla ante. Duis in vestibulum magna. Vestibulum at massa ac nunc porta malesuada. Aenean luctus, ipsum in gravida egestas, lacus libero congue sapien, et consectetur est metus non ex. Duis pretium ac orci eu iaculis. Sed cursus pretium euismod. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus



\begin{lemma}\label{lem:nonnegative}
For any $a$ and $b$,
\[
(a-b)^2\geq 0
\]
\end{lemma}

\begin{proof}
The lemma follows as a square of any (real) number is non-negative.
\end{proof}


\begin{theorem}\label{thm:earth}
For any $a$ and $b$, 
\[
a^2+b^2\geq 2ab.
\]
\end{theorem}

(Normally, theorems and lemmas are less trivial than the ones here.)\\

\begin{proof}
Here is the proof. 
Note that
\[
a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq 0,
\]
where the last inequality follows from Lemma \ref{lem:nonnegative}.

So, after rearranging the terms we get the desired inequality. 
\end{proof}

By using theorem \ref{thm:earth} with $a=\sqrt{2}$ and $b=2$, we get 
 
\begin{corollary}
$2+4\geq 4\sqrt{2}$
\end{corollary}

Aliquam at enim lacinia, suscipit augue sed, molestie risus. Ut augue ex, tristique at tellus sed, ornare pulvinar nisl. Cras id blandit tellus, sed facilisis mi. Phasellus rhoncus dignissim purus eu ullamcorper. Nunc nisi libero, hendrerit sit amet iaculis id, tempus vitae turpis. Quisque vehicula nunc vel magna bibendum lacinia. Etiam mattis lorem sed dui molestie tincidunt. Phasellus luctus dui nec tincidunt tristique. Cras in commodo lectus, et blandit quam. Donec nec varius lorem, id gravida urna. Nulla eget odio sagittis, tempus neque sit amet, imperdiet neque.



\subsection{Another Subsection}

Ut enim elit, porttitor ac ante vel, dapibus consectetur odio. Pellentesque a sem ultrices, facilisis mauris vitae, ultricies libero. Aliquam id metus mattis diam viverra porta eget quis tellus. Quisque convallis dui et mollis dignissim. Aenean ullamcorper velit et libero condimentum luctus. Ut sit amet ex ac lorem placerat accumsan. Vestibulum bibendum euismod aliquet. Quisque rhoncus, nibh venenatis scelerisque consequat, ipsum diam volutpat risus, nec aliquam dui arcu et nulla. Nam quam risus, aliquam molestie bibendum non, molestie ac purus. In fringilla est non mollis tristique. Maecenas justo massa, egestas vitae neque at, pulvinar sodales nulla.

\subsubsection{A Subsubsection!}

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Praesent volutpat massa semper neque malesuada, \footnote{A footnote: Nulla eget placerat dui. Proin dignissim euismod molestie. Curabitur tincidunt, felis eu convallis.} non dictum nibh egestas. Mauris odio quam, imperdiet ut nunc eu, tincidunt tempus risus. Donec congue, felis vel consectetur iaculis, diam leo ultricies lorem, et bibendum arcu risus a lacus. Nulla eget placerat dui. Proin dignissim euismod molestie. Curabitur tincidunt, felis eu convallis varius, justo justo commodo nibh, ut hendrerit enim lectus in magna. Curabitur lobortis mi odio.

\section*{Another Section (without a number)}

Donec non leo dapibus, tempor diam vestibulum, consectetur erat. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Vestibulum nec fringilla diam, vitae porttitor nisl. Integer ac sollicitudin mauris. Integer facilisis, augue id interdum aliquet, libero ex condimentum neque, at vulputate sapien mi sit amet nibh. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Etiam condimentum pretium lacus pharetra scelerisque. Donec quis tristique elit. Duis tortor massa, interdum feugiat risus et, tristique fringilla ante. Duis in vestibulum magna. Vestibulum at massa ac nunc porta malesuada. Aenean luctus, ipsum in gravida egestas, lacus libero congue sapien, et consectetur est metus non ex. Duis pretium ac orci eu iaculis. Sed cursus pretium euismod. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus.

\subsection{A Subsection of Another Section}

Ut enim elit, porttitor ac ante vel, dapibus consectetur odio. Pellentesque a sem ultrices, facilisis mauris vitae, ultricies libero. Aliquam id metus mattis diam viverra porta eget quis tellus. Quisque convallis dui et mollis dignissim. Aenean ullamcorper velit et libero condimentum luctus. Ut sit amet ex ac lorem placerat accumsan. Vestibulum bibendum euismod aliquet. Quisque rhoncus, nibh venenatis scelerisque consequat, ipsum diam volutpat risus, nec aliquam dui arcu et nulla. Nam quam risus, aliquam molestie bibendum non, molestie ac purus. In fringilla est non mollis tristique. Maecenas justo massa, egestas vitae neque at, pulvinar sodales nulla.


\end{document}

