la direction du
gradient, 
la direction orthogonale
et 
, 
les dérivées secondes dans les directions correspondantes.
Equation de la chaleurComparaison
Perona et Malik
Alvarez, Lyons et Morel (1)
Alvarez, Lyons et Morel (2)
L'objectif est de comparer différentes filtres anti-bruit à base d'équations aux dérivées partielles .
PDElib est une bibliothèque qui permet de mettre en oeuvre rapidement et simplement des filtres EDP. La version actuelle ne fonctionne que sur des images noir et blanc.
L'étude sera centrée sur quatre filtres EDP : l'équation de la chaleur, l'équation de Perona et Malik et deux équations proposées par Alvarez, Lions et Morel. On observera les caractéristiques de chacun des filtres ainsi que l'impact du choix des fonctions paramètres. Le point crucial de la comparaison est le comportement des filtres par rapprt aux contours de l'image traitée. En effet, on souhaite supprimer le bruit présent dans l'image tout en respectant autant que possible les contours de l'image.
.
Comme on s'intéresse principalement au comportement par rapport
aux contours de l'image, il est judicieux d'observer les EDP dans le repère
local lié au gradient de l'intensité. En effet, un contour
induit un fort gradient d'intensité dans l'image et par conséquent,
la direction du contour est orthogonale à la direction du gradient.
Ainsi, on notera la direction du
gradient, la direction orthogonale
et ,
les dérivées secondes dans les directions correspondantes.
De là, on décomposera chaque EDP dans ce repère
local. Le terme en 
correspond à
un lissage dans la direction du contour; on souhaite donc que ce terme
soit faible dans les zones où le gradient est important. Ainsi on
"respecte" le gradient. Le terme en 
correspond au lissage dans la direction orthogonale au contour et par conséquence
à un très faible impact sur les contours.
. Dans le repère local, on a la forme suivante : 
. Cette équation en physique représente la diffusion isotrope
de la chaleur dans un matériau.
Koenderink a montré que ce filtre était équivalent à une convolution par une gaussienne. La gaussienne est invariante par rotation et on retrouve bien cette propriété dans l'EDP car le laplacien est aussi invariant par rotation. On a donc ici un filtre isotrope dont le traitement est le même partout dans l'image et selon toutes les directions. Si on observe son comportement dans l'espace de Fourier, on observe que ce filtre est la multiplication par une gaussienne et donc "étouffe" les hautes fréquences. Ainsi, il est clair qu'on élimine le bruit - qui se situe bien dans les hautes fréquences - mais on lisse aussi les contours. Ce filtre est exposé ici principalement comme référence pour pouvoir le comparer aux autres filtres.
Avantages
A priori, ce filtre ne présente pas beaucoup d'avantages. Toutefois, il est facile à implémenter et fonctionne très vite pour peu que l'on exploite le cache processeur et l'unité de calcul flottant.
Désavantages
Ce filtre lisse les contours quels qu'ils soient. Dans tous les cas, l'image devient floue.
.
Dans le repère local, on a la forme suivante : 
. La fonction c est une fonction décroissante sur 
telle que 
et 
.
L'idée est simple, on veut diminuer l'effet du filtre sur les contours. Pour cela, on pondère le gradient par la fonction c de manière à contrôler la force de la diffusion. Ainsi, on obtient une diffusion forte sur les zones uniformes i.e. les zones de faible gradient et une diffusion faible sur les contours i.e. les zones de fort gradient.
Toutefois, cette EDP pose un problème, le coefficient de
de la forme 
peut devenir négatif
à cause de la dérivée première de la fonction
c. Or dans ce cas, l'EDP n'est plus une EDP de diffusion mais une EDP de
réaction qui diverge. Et finalement, dans les zones de très
fort gradient ce coefficient devient négatif et les contours sont
localement renforcés.
Avantages
Le filtre traite différemment les contours et les zones uniformes. Ainsi les contours sont assez bien préservés et les zones uniformes sont débruitées.
Désavantages
Les forts contours sont artificiellement renforcés.
Le traitement des contours est très sensible à le valeur
du gradient à cause du terme 
. Ainsi un contour le long duquel le gradient varie n'est pas transformé
de manière uniforme ce qui, évidemment, peut poser problème
-- par exemple si on souhaite faire une détection de contours ensuite.
Influence du choix de la fonction c
Deux fonctions ont été essayées pour c : une fonction
"rampe" linéaire par morceaux: 
et une fonction "carré inverse" 
.
Ces deux fonctions ont une allure générale comparable et détermine la limite au-delà de laquelle on considère un gradient comme important. On s'attardera pas sur cette limite qui doit être fixée au cas par cas, selon les contours que l'on souhaite préserver ou non.
Par ailleurs, comme la dérivée première de c intervient dans le filtre, la fonction "rampe" fait apparaître des paliers et des discontinuités. Et cela se traduit sur l'image par des zones qui correspondent aux différents paliers et apparaissent entre les zones des frontières dues aux discontinuités.
La fonction "carré inverse" étant continue et à dérivée continue permet de supprimer cet effet de "zones". Elle représente donc un choix judicieux par rapport à la fonction "rampe".
où g est une fonction décroissante sur
telle que 
et 
. 
est une gaussienne dont le but
est de régulariser u pour obtenir des résultats d'existence
et d'unicité sur la solution de l'EDP, son impacte sur l'image est
faible. Par conséquent, elle n'est pas codée dans PDElib
et nous n'étudierons pas son influence sur le résultat final.
Dans le repère local, on a la forme suivante : 
.
Il est donc clair que ce filtre n'agit que dans la direction orthogonale
au gradient et donc n'affecte que très très peu les contours.
Par ailleurs, s'il on prend comme fonction g la fonction inverse, on fait
apparaître le terme 
dont
la norme est égale à la courbure de la ligne de niveau sur
laquelle on se situe. Le filtre a donc une action qui proportionnelle à
la courbure locale de l'image.
D'un point de vue général, le filtre agit sur les lignes de niveau de l'image, il les resserre ou les écarte selon l'endroit. Ce filtre a donc tendance à faire apparaître des aplats de couleur unie dans les zones où les lignes de niveau s'écartent.
Avantages
Les contours sont très bien respectés.
Désavantages
On ne lisse que dans une seule direction.
On fait apparaître des aplats de couleurs. Notamment les dégradés perdent en qualité à cause de ce phénomène.
Influence du choix de la fonction g
Contrairement à l'EDP de Perona et Malik, ici la dérivée première n'apparaît pas. Par conséquent, le choix de la fonction g entre "rampe" et "carré inverse" n'a que peu d'importance.
où g est une fonction décroissante sur
telle que et
et h est une fonction croissante sur
telle que 
et 
.
Dans le repère local, on a la forme suivante : 
.
Dans le repère local, l'expression de ce filtre est très semblable celui de Perona et Malik sauf que l'on a la fonction h à la place d'un terme qui contenait la dérivée première de la fonction c. Par conséquent, il n'est plus possible d'avoir un coefficient négatif dans l'EDP. On est assuré de toujours avoir un phénomène de diffusion régulé par la norme du gradient.
Qui plus est on lisse en permanence selon les deux directions donc on évite le phénomène d'aplats de couleur de la première équation. Bien sûr, en conséquence les contours sont moins bien respectés.
Avantages
Les contours et les dégradés sont bien respectés.
Désavantages
Les contours sont moins bien repectés qu'avec la première équation.
Influence du choix des fonctions g et h
De même que pour la première équation, le choix n'a que peu d'importance car les dérivées n'interviennent pas.
Comparaison sur une image réelle : Sur cette image on voit particulièrement bien l'effet de réaction dans le filtre de Perona et Malik et les différences de traitements sur les contours.
Comparaison sur une image artificielle : Sur cette image, on voit particulièrement bien les différences de traitement sur les dégradés et le cas extrême pour le premier filtre de Alvarez, Lions et Morel (certains pixels ne sont que peu ou pas filtrés au cours du processus).
Nota bene :
La fonction rampe utilisée pour les filtres de Perona et Malik et de Alvarez, Lyons et Morel (1) a pour paramètres a = 0 et b = 0.25. La fonction carré inverse est telle qu'elle vaut 0.1 en x = 0.25.
Pour Alvarez, Lyons et Morel (2) la fonction rampe a comme paramètre a = 0.025 et b = 0.05. La fonction carré inverse est la même que ci-dessus.
A chaque fois, le pas de temps est dt = 0.125.
P. Perona, J. Malik Scale-space and edge detection usinf anisotropic diffusion. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12(7):629-639, 1990
L. Alvarez, P.L. Lions, J.M. Morel Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion (ii). SIAM J, Numer Anal, 29(3):845-866 1992
R. Deriche and O. Faugeras. Les EDP en Traitement des Images et Vision par Ordinateur. Traitement du Signal, 13(6), 1996.
Plusieurs interfaces sont proposées : une souple mais peu optimisée à base de fonctions géométriques (Image_data::get_dx()...) et d'opérateurs arithmétiques (+,-,*,/) pour tester rapidement une EDP et une plus contraignante mais optimisée à base de fonctions arithmétiques (add(), sub()...) et de constructeurs foncionnels.
Pour avoir un exemple d'utilisation des filtres déjà implémenter, il suffit d'observer le code de PDE.cc qui est le programme qui a servi pour créer les exemples. Pour avoir exemple d'implémentation de filtres, on s'inspirera de ceux contenus dans PDE_library.cc.
Pour compiler PDElib, il suffit de compiler la bibliothèque Image et de la lier au source du programme qui utilise PDElib. Le reste de la bibliothèque est entièrement incluse dans le source du programme, ce qui permet d'utiliser les fonctions inline et les modèles (template) y compris avec g++ ou egcs.
Le code est intégralement commenté de manière compatible avec Doxygen. On trouvera donc la description des fonctions aussi bien incluse dans les fichiers .h et *.cc que sous forme HTML accessible à l'aide du menu en haut de cette page.
Cette bibliothèque est sous license GPL.
1.2.5
écrit par Dimitri van Heesch,
© 1997-2001