Metoto iterativo di Landweber-Fridman

I metodi iterativi sono metodi per la risoluzione di problemi "mal posti" o "mal condizionati", nei quali il numero di iterazioni ha il ruolo di parametro di regolarizzazione.
Uno dei più semplici tra questi metodi è il metodo di Landweber-Fridman; esso viene detto anche metodo delle approssimazioni successive poichè calcola approssimazioni di soluzioni nel senso dei minimi quadrati, cioè soluzioni dell'equazione:

$$A^{\ast}Af \, = \, A^{\ast}g \, .$$

L'equazione può essere riscritta nella seguente forma:

$$f\,=\,f\,+\,\tau(A^{\ast}g\,-\,A^{\ast}Af)$$

dove $\tau$ è detto parametro di rilassamento.
Tale forma suggerisce il seguente procedimento iterativo:

$$f_{N+1}\,=\,f_{N}\,+\,\tau(A^{\ast}g\,-\,A^{\ast}Af_{N})$$

che può essere eseguito assegnando il valore iniziale alla funzione $f_{0}$ (ad esempio $f_{0}$=0).
La precedente relazione di ricorrenza può anche essere scritta come segue:

$$f_{N+1}\,=\,\tau A^{\ast}g\,+\,(I\,-\,\tau A^{\ast}A)f_{N} \, .$$

Per induziome si può dimostrare che

$$f_{N}\,=\,\tau\,{I\,+\,(I\,-\,\tau A^{\ast}A)\,+....+\,(I\,-... ...st}A)^{N+1}}A^{\ast}g\,+\,(I\,-\,\tau A^{\ast}A)^{N}f_{0} \, .$$

In molti casi poò essere necessario imporre il cosiddetto vincolo di positività; si ottiene aggiornando la soluzione approssimata ottenuta all'k-esima iterazione sostituendola con la sua parte positiva.
Il procedimento iterativo, ponendo $f_{0}$=0, è il seguente:

$$f_{0}(n,m)\,=\,f_{0}^{(+)}(n,m)\,=\,0$$

$$f_{N+1}(n,m)\,=\,\tau A^{\ast}g\,+\,(I\,-\,\tau A^{\ast}A)f_{N}^{(+)}(n,m)$$

$$f_{N+1}^{(+)}(n,m)\,=\, f_{N+1}(n,m) \,\,\,\,\,\, se f_{N+1}(n,m)>0$$

$$f_{N+1}^{(+)}(n,m)\,=\, 0 \,\,\,\,\,\, se f_{N+1}(n,m)\leq 0 \, .$$

Nel caso in cui l'operatore $A^{\ast}A$ abbia un inverso continuo (solitamente avviene nei problemi discretizzati) si può dimostrare che l'algoritmo precedente converge all'unica soluzione nel senso dei minimi quadrati non-negativa, cioè all'unica soluzione del problema

$$\vert\vert\,Af\,-\,g\,\vert\vert\,=\, minimo,\,\,\,\,\,\, f\geq 0 \, .$$

Tale soluzione risulta, di solito, numericamente instabile, quindi il numero di iterazioni gioca il ruolo di parametro di regolarizzazione; ciò significa che, arrestando opportunamente il numero di iterazioni, si ottiene una soluzione regolarizzata del problema.