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Decomposizione in valori singolari di una matrice
Se si considera una matrice
simmetrica, di dimensioni
,
con elementi reali tale che
Allora esiste una matrice diagonale
e una matrice ortogonale
tali che
Gli elementi diagonali di
,
, costituiscono
gli autovalori di
; le colonne di
,
, costituiscono gli
autovettori di
, associati ai rispettivi autovalori, essi sono soluzioni dei
problemi:
Gli autovettori sono ortonormali rispetto al prodotto scalare euclideo, ovvero:
dove
è il simbolo di Kronecker.
La forma diagonale di
implica la seguente rappresentazione spettrale:
Se la matrice
è semidefinita positiva, cioè se
allora
.
Se
è il rango della matrice, si possono
ordinare gli autovalori in modo tale che
,
.
Se
è positiva, cioè se
allora
(cioè
) e si possono ordinare gli autovalori in
modo tale che
.
Il caso più generale, però, è quello in cui la matrice
è rettangolare,
di dimensioni
, e rango
.
Se
è la matrice trasposta di
, si considerino le matrici
di
dimensioni
con autovettori
e
di dimensioni
con autovettori
.
Si può dimostrare che tali matrici sono simmetriche e semidefinite (o definite)
positive; inoltre queste matrici hanno gli stessi autovalori (che indicheremo
con
) positivi e con la stessa molteplicità.
Si ottengono, quindi, le seguenti rappresentazioni spettrali:
 |
(A.1) |
 |
(A.2) |
Valgono le seguenti relazioni:
Si ottengono le seguenti rappresentazioni:
 |
(A.3) |
 |
(A.4) |
Si ottiene, così, la decomposizione a valori singolari (SVD)
di una matrice
arbitraria e della sua trasposta.
Sia
la matrice isometrica di dimensione
, le cui colonne sono
costituite dai vettori
; sia
la matrice isometrica di dimensioni
, le cui colonne sono i vettori
; allora si può
scrivere:
 |
(A.5) |
dove
è la matrice diagonale di dimensioni
, avente gli
autovalori
con
sulla diagonale principale.
Se si deve risolvere il seguente sistema lineare algebrico:
dove
è una matrice di dimensione
di rango
, si può trovare
la soluzione generalizzata
, ovvero la soluzione ai minimi quadrati
avente norma minima, tramite la SVD.
Le soluzioni ai minimi quadrati sono tutte e sole le soluzioni del seguente
problema:
Esse costituiscono le soluzioni dell'equazione di Eulero:
Dalle formule (A.1) e (A.4) si ottiene:
e quindi eguagliando le componenti secondo i
si ha:
Quindi la soluzione generalizzata
è la seguente:
Essa può anche essere scritta nella seguente forma
La matrice
di dimensioni
e di rango
è detta
matrice inversa generalizzata (o inversa di Moore-Penrose) di
.
Dall'equazione (A.5 della SVD di
si ottiene la SVD di
:
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Anna Custo
2002-02-05