Next: Codice prodotto
Up: Algoritmi matematici utilizzati
Previous: Metoto iterativo di Landweber-Fridman
  Contents
Decomposizione in valori singolari di una matrice
Se si considera una matrice simmetrica, di dimensioni ,
con elementi reali tale che
Allora esiste una matrice diagonale e una matrice ortogonale
tali che
Gli elementi diagonali di ,
, costituiscono
gli autovalori di ; le colonne di ,
, costituiscono gli
autovettori di , associati ai rispettivi autovalori, essi sono soluzioni dei
problemi:
Gli autovettori sono ortonormali rispetto al prodotto scalare euclideo, ovvero:
dove è il simbolo di Kronecker.
La forma diagonale di implica la seguente rappresentazione spettrale:
Se la matrice è semidefinita positiva, cioè se
allora
.
Se è il rango della matrice, si possono
ordinare gli autovalori in modo tale che
,
.
Se è positiva, cioè se
allora
(cioè ) e si possono ordinare gli autovalori in
modo tale che
.
Il caso più generale, però, è quello in cui la matrice è rettangolare,
di dimensioni , e rango .
Se è la matrice trasposta di , si considerino le matrici di
dimensioni con autovettori e di dimensioni
con autovettori .
Si può dimostrare che tali matrici sono simmetriche e semidefinite (o definite)
positive; inoltre queste matrici hanno gli stessi autovalori (che indicheremo
con ) positivi e con la stessa molteplicità.
Si ottengono, quindi, le seguenti rappresentazioni spettrali:
|
(A.1) |
|
(A.2) |
Valgono le seguenti relazioni:
Si ottengono le seguenti rappresentazioni:
|
(A.3) |
|
(A.4) |
Si ottiene, così, la decomposizione a valori singolari (SVD)
di una matrice arbitraria e della sua trasposta.
Sia la matrice isometrica di dimensione , le cui colonne sono
costituite dai vettori
; sia la matrice isometrica di dimensioni
, le cui colonne sono i vettori
; allora si può
scrivere:
|
(A.5) |
dove è la matrice diagonale di dimensioni , avente gli
autovalori con sulla diagonale principale.
Se si deve risolvere il seguente sistema lineare algebrico:
dove è una matrice di dimensione di rango , si può trovare
la soluzione generalizzata , ovvero la soluzione ai minimi quadrati
avente norma minima, tramite la SVD.
Le soluzioni ai minimi quadrati sono tutte e sole le soluzioni del seguente
problema:
Esse costituiscono le soluzioni dell'equazione di Eulero:
Dalle formule (A.1) e (A.4) si ottiene:
e quindi eguagliando le componenti secondo i si ha:
Quindi la soluzione generalizzata è la seguente:
Essa può anche essere scritta nella seguente forma
La matrice di dimensioni e di rango è detta
matrice inversa generalizzata (o inversa di Moore-Penrose) di .
Dall'equazione (A.5 della SVD di si ottiene la SVD di :
Next: Codice prodotto
Up: Algoritmi matematici utilizzati
Previous: Metoto iterativo di Landweber-Fridman
  Contents
Anna Custo
2002-02-05