On peut représenter une image sous la forme d'un automate qui
reconnait les points qui sont dans l'image. Pour cela, on va associer
à chaque image un automate fini déterministe complet sur
l'alphabet à
quatre lettres . On va associer à chaque point de
une partie de
. On
définit pour cela les deux
applications
et
et pour chaque point de , on peut définir une suite
de lettres de
avec
.
On a la relation
. On note
le langage constitué des mots de la forme
.
L'automate associé à l'image va avoir pour états les nuds de l'image
et les deux couleurs Noir et Blanc, pour transitions les relations de
descendance, et pour état terminal l'état Noir.
avec
.
Par exemple, pour le triangle défini précédemment,
l'automate
est représenté en figure 3.
Réciproquement, si l'on se donne un automate fini déterministe complet sur un alphabet à quatre lettres qui possède un état poubelle et un état "puit" terminal, on peut lui associer une image récursive.
Si on parvient à démontrer l' équivalence entre la
définition par les
CPOs et celle par les automates, on disposera d'une représentation
concrète des images, représentation qui nous permettra de
réutiliser les
résultats issus de la théorie des langages formels. En
particulier,
nous pourrons minimiser le nombre de nuds d'une image grâce à
l'algorithme de Moore.
On déduit immédiatement de la proposition précédente le résultat suivant :
On a donc pu implémenter la minimisation en appliquant simplement l'algorithme de Moore.