Introduzione all'algoritmo

Il metodo di ricostruzione che verrà esposto di seguito ci permetterà di rimuovere la distorsione dovuta alle controparti negative e di ridurre il noise. La ricostruzione potrà essere tuttavia affetta da artefatti per la cui riduzione verranno proposte procedure adeguate.
Più avanti riprenderemo la descrizione della tecnica di chopping and nodding già vista in §1.3 per poter descrivere l'algoritmo di inversione usando una notazione consistente a quella di tutto il lavoro.
Come già detto nel capitolo precedente, l'immagine astronomica risulta immersa in un fondo variabile, denominato background, che chiameremo $a$ nel seguito.
Il segnale $s_{P}$ che arriva dalla direzione di coordinate $(x,y)$, al tempo $t$, nel punto $P$ del piano immagine, è dato da:

$$s_{P}=T_{P}\times[f(x,y)+a(x,y,t)] \,\,$$ (2.1)

dove $T_{P}$ rappresenta la funzione di trasferimento del sistema, $f(x,y)$ è il segnale proveniente dalla sorgente cosmica e $a(x,y,t)$ è il termine di background.
Il problema che ci si pone è quello di valutare la distribuzione $f$ e questo risulta possibile solo se si conosce effettivamente il background $a$.
Tramite osservazione con la tecnica di chopping, precedentemente discussa, si era arrivati ad una possibile soluzione: facendo puntare il telescopio verso una porzione di cielo senza segnale tramite spostamento di $\Delta$ arcosecondi nella direzione $y$, si poteva ottenere:

$$s'_{P}=T_{P}\times[f(x,y+\Delta)+a(x,y+\Delta,t')] \,\,$$ (2.2)

dove $t'$ corrisponde ad un tempo di osservazione vicino a t.
Sfortunatamente tale tecnica ha due svantaggi:

• Le due immagini ottenute muovendo lo specchio secondario possono essere affette da variazioni residue di background, dovute alle differenze termiche tra le due configurazioni del telescopio. In altre parole, la tecnica di chopping è equivalente ad una rapida traslazione tra due differenti telescopi: (A) per la sorgente e (B) per il cielo.
  Denoteremo con $\Delta a_{AB}$ la differenza residua tra i corrispondenti sfondi.
• Per ragioni ottiche e meccaniche l'ampiezza di chopping è solitamente inferiore a 60 arcosecondi, cioè non è possibile osservare una porzione di cielo troppo lontano dalla sorgente di luce. Se il telescopio è molto sensibile, o la sorgente ha dimensioni elevate, nel suo intorno si rileverà una percentuale di luminosità molto alta, ovvero risulterà:
  $f(x,y+\Delta)\neq 0$.

In base a queste considerazioni la differenza $s_{P}-s'_{P}$ sarà data, in generale, da:

$$\Delta s_{A}=(s_{P}-s'_{P})=T_{P}\times[f(x,y)-f(x,y+\Delta)+\Delta a_{AB}] \,\,$$ (2.3)

dove con $\Delta s_{A}$ si indica che la sorgente è stata osservata con il telescopio (A).
Per eliminare il fattore $\Delta a_{AB}$, viene utilizzata una tecnica particolare chiamata nodding: il telescopio viene puntato verso una regione differente del cielo, in modo tale che la sorgente sia osservata con il telescopio (B); cioè risulta equivalente ad una traslazione di $-\Delta$ nella coordinata $y$.
In questo modo, nel punto $P$ si ottiene il segnale $s''_{P}$ e, ripetendo l'intera sequenza, il risultato è:

$$\Delta s_{B}=(s''_{P}-s_{P})=T_{P}\times[f(x,y-\Delta)-f(x,y)+\Delta a_{AB}] \,\,$$ (2.4)

dove con $\Delta s_{B}$ si indica che l'oggetto è stato osservato con il telescopio (B).
$s''_{P}$ rappresenta il segnale ottenuto con la tecnica descritta sopra.
Sottraendo l'equazione (2.4) dalla (2.3) si ottiene la cosiddetta ``chopped and nodded image'':

$$g_{\Delta}(x,y)=\Delta s_{A}-\Delta s_{B}=Tp\times[-f(x,y-\Delta)+2f(x,y)-f(x,y+\Delta)] \,\,$$ (2.5)

Tale immagine è indipendente dal fondo atmosferico e dal modello termico del telescopio. Se la distribuzione di luminosità della sorgente è compatta, cioè $f(x,y-\Delta)=f(x,y+\Delta)=0$, allora il problema della ricostruzione di $f(x,y)$ è risolto, altrimenti è necessario un metodo di ricostruzione di $f(x,y)$ dall'immagine $g(x,y)$.
In generale, i telescopi giganti richiedono scale di pixel molto piccole e utilizzano basse ampiezze di chopping, quindi si deduce che il caso in cui
$f(x,y-\Delta)=f(x,y+\Delta)=0$ non è un caso standard.