Criteri di stop

Sotto queste ipotesi, risulta molto importante avere un criterio per interrompere le iterazioni, nel momento in cui si ottiene la migliore approssimazione. Proponiamo due criteri di stop basati sul così  detto principio della discrepanza (Bertero & Boccacci 1998). Il primo si applica colonna per colonna. Definiamo la discrepanza $\varepsilon_{j}^{(k)}$ fra la j-esima colonna dei dati misurati e la j-esima colonna dei dati ottenuti dalla k-esima iterazione come scarto quadratico medio (r.m.s. dall'inglese root mean square error) del vettore $[A]\mathbf{f}_{j}^{(k)}-\mathbf{g}_{j}$:

$$\varepsilon_{j}^{(k)}=\parallel{[A]\mathbf{f}_{j}^{(k)}-\mat... ...thbf{f}_{j}^{(k)})_{n}-g_{j,n}\vert^{2} \right)^{\frac{1}{2}}.$$ (2.15)

Dai risultati generali sul metodo di Landwaber proiettato (Eicke 1992), è noto che $\varepsilon_{j}^{(k)}$ è una funzione decrescente di $k$, tende a zero per $k \rightarrow \infty$. Quindi, in accordo col principio della discrepanza, le iterazioni si possono fermare quando $\varepsilon_{j}^{(k)}$ diventa più piccolo di una stima $\varepsilon_{j}$ dello scarto quadratico medio di $\parallel{\mathbf{w}_{j}}\parallel$. Nel caso di noise bianco con varianza $\sigma^{2}$, una stima abbastanza naturale è $\parallel{\mathbf{w}_{j}}\parallel \simeq \sigma$, perciò si possono fermare le iterazioni quando $\varepsilon_{j}^{(k)} \leq \sigma$. Applicare questo criterio significa che non si sta cercando un fit accurato dei dati perché, in questo caso, si cercherebbe una soluzione che modelli non solo il segnale ma anche il noise.

Anche se si usasse lo stesso valore $\varepsilon_{j}$ per tutte le colonne, il numero delle iterazioni generalmente cambierà da colonna a colonna: il numero delle iterazioni è piccolo se la colonna è caratterizzata da un valore basso di $S/N$ (signal to noise ratio, vedi §1.1.1) ed è grande se il rapporto segnale-rumore è alto. Se non ci si aspetta che il rapporto $S/N$ cambi drammaticamente da colonna a colonna può essere più conveniente usare il secondo criterio di stop che prevede lo stesso numero di iterazioni per tutte le colonne. A questo scopo definiamo la discrepanza relativa media come:

$$\varepsilon^{(k)}=\left(\frac {\sum_{j=1}^{N'}\parallel{[A]\... ...j=1}^{N'}\parallel{g_{j}}\parallel^{2}} \right)^{\frac{1}{2}}.$$ (2.16)

dove $N'$ è il numero delle colonne da ricostruire. Si possono fermare le iterazioni quando $\varepsilon^{(k)}$ è più piccolo di una stima $\varepsilon$ dell'errore r.m.s relativo che affligge l'immagine. Tipicamente usiamo un valore di $\varepsilon$ corrispondente a un errore percentuale piccolo. Se abbiamo una stima di $\sigma$, possiamo ottenere una stima di $\varepsilon$ sostituendo ogni termine nel numeratore dell'equazione 2.16 con $\parallel{\mathbf{w}_{j}}\parallel^{2} \simeq \sigma^{2}$. Perciò, se abbiamo due immagini dello stesso oggetto con differenti livelli di noise, possiamo usare un valore di $\varepsilon$ grande, quindi un numero di iterazioni piccolo, per quella affetta da una maggiore quantità di noise.

Comunque, nel caso di immagini particolarmente rumorose è importante osservare che, se si usa il valore di $\varepsilon$ sopra definito, il criterio di stop ferma le iterazioni troppo presto. Questo effetto è dovuto ad una proprietà del principio della discrepanza scoperto empiricamente e ben documentato in letteratura (Bertero & Boccacci 1998). Il criterio può essere corretto usando un valore di $\varepsilon$ più piccolo di quello sopra definito (per esempio di un fattore due).